硬币问题

两个人轮流抛硬币，谁先抛到正面就赢。求第一个抛硬币的人获胜的概率？

答案

第一个人1次获胜概率：$\frac{1}{2}$
3次获胜概率: ${\frac{1}{2}}^3$
5次获胜概率: ${\frac{1}{2}}^5$
…
n次获胜概率: ${\frac{1}{2}}^n$

第一个人获胜总概率P=$\frac{1}{2}+{\frac{1}{2}}^3+…+{\frac{1}{2}}^n$
使用等比数列求和公式，当$n\to+\infty$时，$P=\frac{2}{3}$

抛硬币

抛硬币，平均需要多少次才能连续出现三次正面？

答案

设$E_t$表示已经连续抛出了$t$次正面，期望还需要多少次才能连续出现三次正面。
$E_0=1+\frac{1}{2}E_0+\frac{1}{2}E_1$
$E_1=1+\frac{1}{2}E_0+\frac{1}{2}E_2$
$E_2=1+\frac{1}{2}E_0$
解得：$E_0=14$

投骰子1

投骰子，连续两次6则结束，平均几次结束？

答案

设$E_t$表示已经连续抛出了$t$次6，期望还需要多少次才能结束。
$E_0=1+\frac{5}{6}E_0+\frac{1}{6}E_1$
$E_1=1+\frac{5}{6}E_0$
解得：$E_0=42$

投骰子2

投骰子，每个点数都出现1次就结束，求期望次数。

答案

设$E_t$表示已经出现了t种点数，期望还需要多少次才能结束。
$E_t=\frac{t}{6}(1+E_t)+\frac{6-t}{6}(1+E_{t+1})$
$E_6=0$
$E_0=14.7$

生育

生育规则是，如果生女孩就继续生，直到生出男孩。问最终男女比例？

答案

最终每个家庭至少有一个男孩。
此时每个家庭女孩的期望个数,可以用尾和公式计算。
$$
\begin{align}
E&=P(x\geq1)+P(x\geq2)+… \
&=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+… \
&=1 \
\end{align}
$$
所以每个家庭期望一个男孩，一个女孩，男女比例为$1:1$。

投不均匀硬币

一枚硬币，正面概率为0.7，反面概率0.3，问怎么高效获得一个0.5的事件。

答案

抛两次，如果两次都是一样的面，重抛。这时“正反“和“反正“出现概率各为0.5.

扑克

一份扑克牌54张，平均分成两份，求这两份都有两张A的概率。

答案

$P=\frac{ {4 \choose 2}{50 \choose 25} }{54 \choose 27}=\frac{351}{901}$

生日

50个人的班级，至少有两人同一天生日的概率是多少。

答案

$P=1-\frac{365}{365}\times\frac{364}{365}\times\frac{363}{365}…\approx97.04%$